Электронный журнал

Суть методики расчёта центрально сжатых неидеальных стержней прямоугольного профиля в критическом и закритическом состояниях изложена в работах [1-4], где в качестве расчётного метода использован один из наиболее общих энергетических принципов строительной механики – принцип возможных перемещений. В указанных публикациях приведены аппроксимирующие функции начальных и приобретённых прогибов пластинчатых элементов профиля, а также формулы для определения виртуальных работ (δТ^*_kj) всех внешних и внутренних усилий на возможных перемещениях для пластинок с двумя упруго защемлёнными ненагруженными гранями. Из набора четырёх таких пластин-стенок можно составить стержень прямоугольного профиля. Короткие нагруженные грани пластинок опёрты шарнирно (см.рисунок).

В [3] представлены системы разрешающих уравнений, включающих вариационные уравнения принципа возможных перемещений и необходимые граничные условия для центрально сжатых начально искривлённых коробчатых профилей. Решение таких систем позволяет полностью описать послекритическое состояние элементов стержня при любом уровне закритической нагрузки.

В данной работе покажем алгоритм расчёта сжатого начально искривлённого стержня прямоугольного профиля, находящегося под действием внецентренной нагрузки. Для этого рассмотрим участок в середине по длине профиля (поскольку здесь появляются наибольшие по величине эксцентриситеты е_х, е_у приложения нагрузки, превышающие опорные за счёт искривления оси стержня), но с поперечным сечением, равным самому ослабленному местной потерей устойчивости (участок с наибольшими по амплитуде стрелками начальных погибей пластинок стержня). При этом полагается, что радиус кривизны изогнутой вследствие внецентренного действия нагрузки оси профиля достаточно велик и в пределах отрезка стержня длиной ℓ (где ℓ – длина образовавшейся в результате выпучивания начально искривлённых пластинок профиля продольной полуволны) рёбра остаются прямолинейными.

Напряжённое состояние внецентренно сжатой пластинки-стенки

В момент местной потери устойчивости стержня, имеющего предварительную погибь, наиболее слабая пластинка выпучивается, остальные деформируются за счёт влияния моментов вдоль линий контакта пластинчатых элементов стержня. Возникающие в начальный момент выпучивания дополнительные прогибы точек срединных поверхностей хотя не равны нулю, но практически настолько малы, что можно пренебречь квадратами, кубами и смешанными произведениями стрелок составляющих приобретённых прогибов.

С учётом указанных обстоятельств длина полуволны ℓ и величина критической силы местной устойчивости р^м_кр определяются с помощью вышеуказанной системы разрешающих уравнений [3]. При этом вводится простой закон распределения напряжений σ_kx до момента местной потери устойчивости (см. рисунок):

σ_kx = -p(h^н_k + h^к_k)/2 – p(h^к_k – h^н_k)y/s,                                                                                                             (1)

где р – среднее сжимающее напряжение в сечении стержня, определяемое выражением

р = Р/F_сеч,                                                                                                             (2)

где Р – внецентренно сжимающая сила;

F_сеч – площадь поперечного сечения стержня;

h^н_k, h^к_k – безразмерные коэффициенты, определяемые отношением напряжений соответственно на начальной и конечной гранях k-го пластинчатого элемента профиля (по формулам сопротивления материалов для внецентренно сжатого стержня с недеформируемым профилем) к среднему сжимающему напряжению р;

s – ширина пластинки.

Учитывая, что в начальный момент местной потери устойчивости составляющие виртуальных работ δТ^*_kj, содержащие постоянные интегрирования А_k2, A_k3, A_k4, A_k5, весьма малы, принимаем последние равными нулю. Тогда, исходя из формул для напряжений σ_kx [4], последние в докритическом диапазоне определяются зависимостью

σ_kx = -A_k1 - A_k6 y.                                                                                                             (3)

Сравнивая выражения (1) и (3), получаем для k-й пластинки-стенки

А_k1 = p(h^н_k + h^к_k)/2; A_k6 = p(h^к_k – h^н_k)/s.                                                                                                             (4)

Полагается, что выражение (4) справедливо и для начального момента локальной потери устойчивости. В результате несложных преобразований получим формулы для определения сумм работ всех внутренних и внешних усилий во внецентренно сжатой начально деформированной пластинке-стенке на бесконечно малых возможных перемещениях. Для сокращения выкладок введём следующие обозначения:

δТ^**_kj = δT^*_kj - K_kj,                                                                                                             (5)

где δТ^*_kj (j=1,2,3) – виртуальная работа внутренних и внешних усилий k-ой пластинки на возможном перемещении (δW)_j в момент местной потери устойчивости при центральном сжатии стержня;

К_kj – сумма всех членов, содержащих параметр р в δТ^*_kj [3].

Тогда виртуальные работы δT^*e_kj в начально искривлённой пластинке-стенке профиля, испытывающего внецентренное сжатие, представляются следующими выражениями:

δT^*e_k1 = δТ^**_k1+ pt_ks (π²h_kf_k1/8ℓ + 2πh_kf_k2/3ℓ + 4h′_kf_k3/ℓ);                                                                                                             (6)

δT^*e_k2 = δT^**_k2 + pt_ks (2πh_kf_k1/3ℓ + 3π²h_kf_k2/8ℓ + 3πh′_kf_k3/16ℓ);                                                                                                             (7)

δT^*e_k3 = δT^**_k3 + pt_ks (4h′_kf_k1/ℓ + 3πh′_kf_k2/16ℓ + π²h_kf_k3/8ℓ),                                                                                                             (8)

где s и t_k – соответственно ширина и толщина k-ой пластинки;

f_kj (j = 1,2,3) – стрелки составляющих приобретённого прогиба пластинки стержня [1-4];

h′_k = (h^к_k - h^н_k);
h_k = (h^к_k + h^н_k).

Таким образом, получаем систему вариационных уравнений, описывающих критическое состояние внецентренно нагруженного несовершенного тонкостенного стержня коробчатого профиля, составленного из пластинок-стенок. Для этого в одноимённой системе уравнений, записанной для случая центрального сжатия [3], изменим δТ_kj на δТ^*e_kj :

n q

∑ ∑ (∂t_kj/∂f_ai) δT^*e_kj = 0,                                                                                                             (9)

j=1 k=1

i = 1,2,…, n.

Выразив с помощью граничных условий стрелки составляющих приобретённых прогибов для всех пластинок профиля через соответствующие параметры основной пластинки (функция дополнительных прогибов которой содержит наибольшее число членов), то есть через f_a1, f_a2,…, f_an, и определив значение частных производных типа ∂f_kj/∂f_ai, получим систему линейных однородных уравнений относительно неизвестных f_a1,f_a2,…, f_an. В соответствии с числом стрелок f_ai главный определитель этой системы раскрывается соответственно в кубическое (i =1,2, 3) уравнение относительно параметра р. Варьируя величину ℓ, также входящую в полученное уравнение, находим из последнего наименьшее значение параметра нагрузки р^м_кр, а значит, и соответствующую ему величину продольной полуволны ℓ. Критическая сила локальной потери устойчивости вычисляется по формуле

Р^м_кр = р^м_кр F_сеч.

Библиографический список

1. Ильяшенко А.В., Ефимов И.Б. Экспериментальное исследование тонкостенных стержней с искривлёнными пластинчатыми элементами // Организация и производство строительных работ. – М.: Центр.Бюро н.-т. информации Минпромстроя, 1983. – С.3-38.

2. Ильяшенко А.В. О расчёте сжатых гибких пластинок с упруго защемлёнными продольными ненагруженными гранями, имеющих начальную погибь // Строительные конструкции и материалы. – Уфа: Тр. НИИпромстроя, 1983. – С. 86-98.

3. Ильяшенко А.В. Задача о закритическом состоянии сжатых тонкостенных стержней коробчатого профиля, имеющих начальную погибь.// Строительные конструкции и материалы. – Уфа: Тр. НИИпромстроя, 1983. – С. 99-108.

4. Ильяшенко А.В., Ефимов И.Б. Напряжённо-деформированное состояние после местной потери устойчивости сжатых тонкостенных стержней с учётом начальной погиби.// Строительные конструкции и материалы. Защита от коррозии. – Уфа: Тр. НИИпромстроя, 1981. – С. 110-119.