Бен Хелал Монсеф


Вагиалла Хасан Ахмед Мохаммед


Леонтьев А.Н.

Напряженное и деформированное состояние плиты средней толщины при ее изгибе от действия поперечной нагрузки описывается, как известно [1], уравнениями:

 

, ,          (1)

 

где    G – модуль упругости второго рода материала плиты;

D, h,  – соответственно ее цилиндрическая жесткость, толщина и коэффициент Пуассона.

Искомые функции t(x,y),  связаны с прогибом w(x,y) и углами поворота t_x(x,y), t_y(x,y) выражениями:

 

,                                  (2)

 

                             (3)

 

При этом являются справедливыми зависимости:

 

, .

(4)

 

В случае учета, кроме поперечной нагрузки q(x,y), сил N_x, N_y, N_xy=N_yx, действующих в срединной плоскости плиты (рис.1), второе из уравнений (1) остается неизменным, а к первому должны быть добавлены проекции этих сил на ось Оz, возникающие за счет изгиба плиты. Заметим, что эти силы связаны между собой уравнениями равновесия:

 

                             (5)

 

Рис. 1

 

Спроецируем силы N_x, N_y, N_xy=N_yx и их приращения на вертикальную ось. Тогда первое из уравнений (1) с учетом выражений (3) – (5) можно записать в виде:

 

.                    (6)

 

Будем считать, что продольные края рассматриваемой плиты шарнирно оперты (рис.2). При этом искомые функций могут быть представлены в виде:

 

,                                        (7)

 

, где .                           (8)

 

Подставляя разложение (7) в уравнение (6), в силу ортогональности тригонометрических функций для каждого номера n получим обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка, которое при действии только продольных сил N_x запишется в виде:

 

,                                (9)

 

а при действии продольных сил N_y:

 

, где .    (10)

 

Уравнения (9) и (10) могут быть записаны в стандартной форме, характерной для задачи об изгибе балки на упругом основании:

 

.                                      (11)

 

Рис. 2

 

В зависимости от соотношения величин коэффициентов r_n и s_n определяется вид корней соответствующего характеристического уравнения и, следовательно, вид частных интегралов, составляющих его решение.

Рассмотрим вначале случай загружения плиты силами N_y, равномерно распределенными по ее продольным краям (см. рис.2). Из сопоставления уравнений (10) и (11) можно видеть, что коэффициентами уравнения (11) в этом случае будут величины:

 

, ,                                        (12)

 

соотношение между которыми зависит от знака усилий N_y: при растяжении плиты   , при сжатии –   .

При  корни k_n характеристического уравнения определяются формулами:

 

,                                                  (13)
где ,  ,                                (14)

 

а общее решение дифференциального уравнения (11) записывается в виде:

 

,    (15)

 

где    – гиперболотригонометрические функции,

(x) – частное решение, зависящее от поперечной нагрузки p_n(x).

При  корни характеристического уравнения имеют вид:

 

         (16)

 

в соответствии с чем решение уравнения (11) записывается в форме:

 

.    (17)

 

В случае загружения плиты силами N_x коэффициенты уравнения (11) будут иметь вид:

 

, .                                      (18)

 

Из соотношений (18) можно видеть, что на этот раз при растяжении плиты   , а при сжатии   , и решения задачи будут представлены соответственно выражениями (17) или (15).

Рассмотрим теперь задачу об изгибе полубесконечной плиты, загруженной в начальном сечении поперечной нагрузкой q(y) и продольными сжимающими силами N_y, равномерно распределенными по продольным краям (см. рис.2).

В этом случае, если заданная поперечная нагрузка представлена выражением , где , то уже один первый член разложения (7) будет представлять точное решение, в результате чего индекс n всюду может быть опущен. Учитывая бесконечную протяженность плиты, решение уравнения (11) можно представить в виде:

 

  .                                   (19)

 

Для полного решения задачи об изгибе плиты средней толщины к выражению (19) необходимо добавить еще интеграл второго из уравнений (1), который с учетом разложения (8) и бесконечности плиты может быть записан в виде:

 

, где .            (20)

 

Для определения трех постоянных интегрирования C₁, C₂, D₁ в начальном сечении (x = 0) могут быть сформулированы следующие граничные условия:

 

            (21)

Раскрывая эти условия при помощи выражений (19) и (20), получим систему трех алгебраических уравнений:

                (22)

 

Рассматривая ту же задачу при наличии растягивающих сил N_y, решение (15) можно записать в виде:

 

  .                          (23)

 

Для определения постоянных интегрирования граничные условия (21) и выражения (20) и (23) позволяют записать следующие уравнения:

          (24)

После решения систем уравнений (22) и (24) и нахождения постоянных C₁, C₂, D₁ все расчетные величины определяются по формулам теории изгиба пластинок средней толщины [1]. Так например, прогиб плиты w(x,y) и изгибающий момент M_y(x,y) определяются в виде:

 

,                 (25)

,         (26)

 

где входящая в (25) и (26) функция W(x) имеет вид (19) при сжатии плиты и вид (23) при растяжении.

На рис.3 и рис.4 приведены кривые, показывающие зависимость величины прогиба w(0) и изгибающего момента M_y(0) в середине загруженного края плиты от величины безразмерных продольных усилий . Сплошные линии 1 и 2 относятся здесь, соответственно, к случаям сжатия и растяжения плиты средней толщины при h/b = 0,2 и  = 0,2, а пунктирные линии 3 и 4 – к случаям сжатия и растяжения тонкой плиты.

 

Рис. 3

 

Рис. 4

 

Можно видеть, что увеличение продольных усилий N_y приводит к существенному изменению значений прогиба и изгибающих моментов: увеличению при сжатии и уменьшению при растяжении. При этом в процентном отношении прогибы изменяются более интенсивно, чем изгибающие моменты. Следует отметить также, что влияние продольных усилий на прогибы плиты средней толщины оказывается несколько большим, чем на прогибы тонкой плиты и большим при сжатии, чем при растяжении. При этом линии 1 и 3, близкие к прямым при малых значениях N_y, становятся криволинейными с тенденцией к резкому возрастанию при увеличении N_y и приближением их значений к критическим.

 

Библиографический список

1.      Власов Б.Ф. Уравнения изгиба плит средней толщины // Теоретические и экспериментальные исследования прочности и жесткости элементов строительных конструкций. – М.: МИСИ, 1989.

2.      Габбасов Р.Ф., Филатов В.В. Расчет сжато-изогнутых пластин при неполном контакте с упругим основанием // Сб. трудов МГСУ. – М., 1999.

3.      Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. – М.: Наука, 1966.

4.      Турганбаев А.Т. Изгиб прямоугольной плиты, лежащей на упругом основании Винклера с учетом влияния продольных усилий // Основания, фундаменты и механика грунтов. 1993, №3.